Просить кассационную инстанцию о пересмотре решения

Если я не обжаловал решение, а это сделал ответчик, то вправе ли я, истец, просить кассационную инстанцию о пересмотре решения в отказанной мне части? Дело в том, что, очевидно, решение вступает в силу только целиком, поэтому мне не хотелось бы своими руками откладывать исполнение присуждённого. Вместе с тем хотелось бы понять, вправе ли сторона, которая не обжаловала решение, просить о пересмотре в отказанной ей части при обжаловании решения другой стороной.